最近一道测试大模型的摸糖果逻辑题很有趣，网上围观的重点是它“怎么想”。这类题本质是最坏情况计数，我写了个脚本 ~/pi-test/candy_puzzle.py，能随机出一道新题并自动给出「题目 / 解答 / 四步证明」，且答案保证是真实最小界。

题目形态

从 24 种口味里抽 3 种、10 种形状里抽 2 种，再随机生成 6 个数作为数量，拼出一道题。例如：

黑袋子里有苹果、桃子、西瓜三种口味，圆形/五角星形两种形状。苹果-圆 7、苹果-星 7；桃子-圆 9、桃子-星 6；西瓜-圆 8、西瓜-星 4。形状可摸出，口味需取出才知。求最少摸几个，能确保手里同时有“形状不同的苹果与桃子”？

“形状不同”是互斥条件：可接受 圆形苹果+五角星桃子 或 圆形桃子+五角星苹果，二者任一即可。

求解：反推失败条件

设两形状各摸 r、q 个，目标口味 f1/f2，干扰 f3，数量映射为 a~f。保证成功等价于同时满足：

r ≥ e+1            # 否则可能全是干扰味形状A
q ≥ f+1            # 否则可能全是干扰味形状B
(r ≥ c+e+1 或 q ≥ d+f+1)   # 覆盖一组互斥组合
(r ≥ a+e+1 或 q ≥ b+f+1)   # 覆盖另一组互斥组合

在此约束下最小化 r+q，最优解必然落在四个角点之一：

策略	含义
R1	形状A摸全两目标味 + 形状B任一非干扰
R4	形状B摸全两目标味 + 形状A任一非干扰
m	A必含f2 + B必含f1（交叉配对）
n	A必含f1 + B必含f2（交叉配对）

取四者最小值即真实最小界。

完整脚本

▶

candy_puzzle.py 完整源码

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
糖果逻辑题生成器
以"真实最小界"为核心，每次随机生成一道具体的糖果题，并输出 题目 / 解答 / 证明。
"""
import random

# 足够大的口味池（干扰集合）
FLAVORS = [
    "苹果", "桃子", "西瓜", "草莓", "葡萄", "蓝莓", "柠檬", "橙子",
    "芒果", "荔枝", "菠萝", "樱桃", "香蕉", "椰子", "榴莲", "猕猴桃",
    "杨梅", "枇杷", "山楂", "桑葚", "石榴", "柚子", "蜜瓜", "杏仁",
]
# 足够大的形状池
SHAPES = [
    "圆形", "五角星形", "三角形", "爱心形", "正方形", "六边形",
    "菱形", "月牙形", "水滴形", "花朵形",
]

def pick_flavors(n=3):
    return random.sample(FLAVORS, n)   # 抽 n 个不同口味

def pick_shapes(n=2):
    return random.sample(SHAPES, n)    # 抽 2 个不同形状

def rand_counts():
    return [random.randint(1, 9) for _ in range(6)]  # a,b,c,d,e,f

# ---- 真实最小界 ----
def true_answer(a, b, c, d, e, f):
    m = (a + e + 1) + (d + f + 1)                 # F2(形状A) + F1(形状B)
    n = (c + e + 1) + (b + f + 1)                 # F1(形状A) + F2(形状B)
    R1 = max(a, c) + e + f + 2                    # 形状A 摸全两种目标味 + 形状B 任一非干扰
    R4 = max(b, d) + e + f + 2                    # 形状B 摸全两种目标味 + 形状A 任一非干扰
    return min(R1, R4, m, n), (R1, R4, m, n)

def best_strategy(a, b, c, d, e, f):
    """返回 (cost, 描述, 两个形状各自摸几个) 中最优的那套"""
    R1 = (max(a, c) + e + f + 2, "R1", (max(a, c) + e + 1, f + 1))
    R4 = (max(b, d) + e + f + 2, "R4", (e + 1, max(b, d) + f + 1))
    m  = ((a + e + 1) + (d + f + 1), "m", (a + e + 1, d + f + 1))
    n  = ((c + e + 1) + (b + f + 1), "n", (c + e + 1, b + f + 1))
    return min([R1, R4, m, n], key=lambda t: t[0])

# ---- 生成题目 ----
def generate_puzzle():
    f1, f2, f3 = pick_flavors()     # f1,f2 为目标口味；f3 为干扰
    s1, s2 = pick_shapes()
    a, b, c, d, e, f = rand_counts()
    return dict(f1=f1, f2=f2, f3=f3, s1=s1, s2=s2,
                a=a, b=b, c=c, d=d, e=e, f=f)

def render(p):
    f1, f2, f3 = p["f1"], p["f2"], p["f3"]
    s1, s2 = p["s1"], p["s2"]
    a, b, c, d, e, f = p["a"], p["b"], p["c"], p["d"], p["e"], p["f"]
    ans, _ = true_answer(a, b, c, d, e, f)
    cost, tag, (r1, r2) = best_strategy(a, b, c, d, e, f)

    lines = []
    lines.append("=" * 62)
    lines.append("【题目】")
    para = (f"想象一个黑袋子，里面装着三种口味的糖果：{f1}味、{f2}味和{f3}味。"
            f"每种糖果又有两种形状：{s1}和{s2}。"
            f"最关键的设定是，形状不同，手感能摸出来，也就是我们可以通过触觉区分是{s1}还是{s2}，"
            f"但尝出来是什么味得拿出来后或者吃了才知道，光靠摸是永远猜不出口味的。"
            f"具体的数量是硬指标，{f1}味的{s1}有{a}个、{s2}有{b}个；"
            f"{f2}味的{s1}有{c}个、{s2}有{d}个；"
            f"{f3}味的{s1}有{e}个、{s2}有{f}个。"
            f"为了百分之百保证，你最少需要从袋子里摸出多少个糖果，"
            f"才能确保手里同时拥有“不同形状的{f1}味和{f2}味的糖”？")
    lines.append(para)
    lines.append("")

    lines.append("【解答】")
    lines.append(f"最少摸出 **{ans}** 个糖果。")
    lines.append(f"具体做法（最优策略 {tag}）：摸 {r1} 个{s1} + 摸 {r2} 个{s2}，共 {cost} 个。")
    lines.append("")

    lines.append("【证明】")
    lines += proof(p)
    lines.append("=" * 62)
    return "\n".join(lines)

def proof(p):
    f1, f2, f3 = p["f1"], p["f2"], p["f3"]
    s1, s2 = p["s1"], p["s2"]
    a, b, c, d, e, f = p["a"], p["b"], p["c"], p["d"], p["e"], p["f"]
    ans, (R1, R4, m, n) = true_answer(a, b, c, d, e, f)
    cost, tag, (r1, r2) = best_strategy(a, b, c, d, e, f)

    L = []
    L.append(f"设摸 {r1} 个{s1}、q 个{s2}。目标是保证“{f1}味与{f2}味、形状不同”，")
    L.append(f"即至少出现以下两种组合之一：")
    L.append(f"  ① {s1}的{f1}味 与 {s2}的{f2}味；")
    L.append(f"  ② {s2}的{f1}味 与 {s1}的{f2}味。")
    L.append("")
    L.append(f"【第一步：安全条件】若摸了 r 个{s1}、q 个{s2}，反过来思考“什么时候会失败”。")
    L.append(f"失败当且仅当存在某种取法，使得 (摸不到{f1}味{s1} 或 摸不到{f2}味{s2}) 且 "
             f"(摸不到{f1}味{s2} 或 摸不到{f2}味{s1})。")
    L.append(f"逐项排除后，保证成功的充要条件是同时满足：")
    L.append(f"  r ≥ e+1 = {e+1}（否则可能全是{f3}味{s1}）；")
    L.append(f"  q ≥ f+1 = {f+1}（否则可能全是{f3}味{s2}）；")
    L.append(f"  ( r ≥ c+e+1 = {c+e+1}  或  q ≥ d+f+1 = {d+f+1} )；")
    L.append(f"  ( r ≥ a+e+1 = {a+e+1}  或  q ≥ b+f+1 = {b+f+1} )。")
    L.append("")
    L.append(f"【第二步：最优值】目标为最小化 r+q，最优解必然落在下列四个角点之一：")
    L.append(f"  R1：r=max(a,c)+e+1={max(a,c)+e+1}、q=f+1={f+1}，花费 {R1}；")
    L.append(f"  R4：r=e+1={e+1}、q=max(b,d)+f+1={max(b,d)+f+1}，花费 {R4}；")
    L.append(f"  m ：r=a+e+1={a+e+1}、q=d+f+1={d+f+1}，花费 {m}；")
    L.append(f"  n ：r=c+e+1={c+e+1}、q=b+f+1={b+f+1}，花费 {n}。")
    L.append(f"取最小：min(R1,R4,m,n) = min({R1},{R4},{m},{n}) = **{ans}**，由策略 {tag} 达到。")
    L.append("")
    L.append(f"【第三步：可行性验证（以 {tag} 为例）】")
    t, rr, qq = tag, r1, r2
    if t == "R1":
        L.append(f"摸 {rr} 个{s1}：{s1}中{f3}味仅 {e} 个，非{f1}味的只有 {c+e} 个、非{f2}味的只有 {a+e} 个，")
        L.append(f"  摸 {max(a,c)+e+1} 个必然同时摸到{f1}味与{f2}味的{s1}；")
        L.append(f"摸 {qq} 个{s2}：{s2}中{f3}味仅 {f} 个，摸 {f+1} 个必含{f1}味或{f2}味；")
        L.append(f"把该{f1}味/{f2}味{s2}与相反的{s1}目标味配对，即得形状不同的{f1}+{f2}。")
    elif t == "R4":
        L.append(f"摸 {rr} 个{s1}必含{f1}味或{f2}味；")
        L.append(f"摸 {qq} 个{s2}：{s2}中{f3}味仅 {f} 个，非{f1}味只有 {d+f} 个、非{f2}味只有 {b+f} 个，")
        L.append(f"  摸 {max(b,d)+f+1} 个必然同时摸到{f1}味与{f2}味的{s2}；")
        L.append(f"把两形状的目标味交叉配对，即得形状不同的{f1}+{f2}。")
    elif t == "m":
        L.append(f"摸 {rr} 个{s1}必含{f2}味（非{f2}味仅 {a+e} 个）；")
        L.append(f"摸 {qq} 个{s2}必含{f1}味（非{f1}味仅 {d+f} 个）；")
        L.append(f"于是必有 {s2}的{f1}味 + {s1}的{f2}味，形状不同。")
    else:
        L.append(f"摸 {rr} 个{s1}必含{f1}味（非{f1}味仅 {c+e} 个）；")
        L.append(f"摸 {qq} 个{s2}必含{f2}味（非{f2}味仅 {b+f} 个）；")
        L.append(f"于是必有 {s1}的{f1}味 + {s2}的{f2}味，形状不同。")
    L.append("")
    L.append(f"【第四步：为什么更少不行】若总数小于 {ans}，r+q≤{ans-1}，")
    L.append(f"则四个角点条件必有至少一个被破坏，存在可构造的失败取法，故无法百分之百保证。")
    return L

if __name__ == "__main__":
    random.seed()
    print(render(generate_puzzle()))

核心只有两个函数：true_answer 算四个角点并取最小界；best_strategy 返回最优策略及具体摸法（r1 个形状A + r2 个形状B）。render 组织题目/解答文本，proof 按四步渲染证明：安全条件 → 最优值 → 可行性（针对选中策略）→ “更少不行”。

用法

python3 ~/pi-test/candy_puzzle.py

每次运行随机出新题。改口味池/形状池/数量范围即可换“食材”，适合批量生成训练或测试集。

小结

脚本的价值不在算对一道题，而在把“最坏情况计数”这类题抽象成可随机出题、可自动证明的流水线，答案锚定在数学上可验证的真实最小界——而这正是 AI 常翻车的地方。